Donald no país da matemática

Aprendendo a aprender

Matemática no dia a dia

Reflexão sobre Docência e Discência em Matemática

Com as observações obtidas no ciclo de palestras e debates sobre a LDB (Leis de Diretrizes e Bases), ocorrido durante a realização da disciplina de Legislação Educacional na Fundação Universidade Federal de Rondônia, pode-se elaborar uma reflexão sobre a docência e discência em matemática no cotidiano escolar do ensino fundamental e médio.

Em todos os lugares do mundo, a matemática sempre fez parte dos currículos escolares, atuando como disciplina básica. De fato, seu ensino é indispensável e sem ela parece-me que a alfabetização estaria incompleta. O significado de matemática vem do grego mathema, que significa aprendizagem. No entanto, o conceito gera contradição, pois ensinar esta ciência é uma tarefa muito difícil. Atualmente, existem várias discussões e debates referentes à formação continuada, que consiste na articulação dos conhecimentos específicos e pedagógicos, somados a uma prática que possibilite ao professor explorar, questionar, criticar sua atuação docente. No caso da matemática, o objetivo de ensino é o de "desenvolver" no aluno a "habilidade" de resolver problemas matemáticos.
O ensino da matemática vive um paradoxo na atualidade. De um lado, uma sociedade que tenta justificar a presença da disciplina nos currículos escolares. Percebe-se que a maioria dos conteúdos ensinados nas escolas são considerados desinteressantes e inúteis, por não estarem vinculados diretamente à realidade social. O ensino da matemática na escola básica tem se identificado com o desenvolvimento precoce de uma linguagem simbólica e formal, que muitas vezes é imposta pelos professores, queimando etapas de estruturação do pensamento do aluno. A Matemática é uma ciência fechada em si mesma, concretizando uma visão parcial de ciência.
As novas metodologias de ensino da matemática tentam romper os métodos rústicos e concebem uma nova prática pedagógica, implicando na proposição de metodologias que possibilitem ao aluno a compreensão de conceitos e significados, bem como o estabelecimento de relações com experiências anteriormente vivenciadas. Implica, portanto, a construção de conhecimentos como solução de problemas significativos, respondendo às exigências do contexto em que está inserido e não apenas às expectativas do professor.
Em relação às normas que regem o ensino-aprendizagem no Brasil e a formação de novos docentes em matemática, verifica-se que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) são baseados nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio e na Lei de Diretrizes e Base (LDB) para o Ensino Básico, tendo como objetivo central definir os princípios norteadores e orientações pedagógicas para a elaboração dos currículos das escolas. A finalidade da LDB é ajustar sua aplicação a situações reais, que envolvem várias questões, dentre elas: o funcionamento das redes escolares, a formação de especialistas e docentes, as condições de matrícula, o aproveitamento de aprendizagem e promoção de alunos, os recursos financeiros, os materiais técnicos e humanos, a participação do poder público e da iniciativa particular no esforço educacional, a administração superior dos sistemas de ensino, as peculiaridades que caracterizam a ação didática nas diversas regiões do país.
Considerando a realidade do país, a LDB é uma lei de iniciativa, mas não resolve todos os problemas do dia-a-dia de um professor e de sua árdua tarefa de educar. As instituições de ensino superior estão preparadas para ensinar ao aluno a parte teórica, principalmente em ciências exatas. As faculdades preocupam-se em ensinar as formas científicas e teóricas para seus acadêmicos e esquecem que estão formando futuros educadores. Esta realidade pode ser bem observada nos últimos semestres de um curso de licenciatura, pois é nesta época que os acadêmicos realizam o estágio em instituições onde futuramente irão trabalhar. Ao chegar ao estágio, deparam-se com uma realidade totalmente diferente da apresentada nos livros didáticos de faculdade, confrontam-se com situações que não estão nos livros e ficam “perdidos” para ensinar, pois as instituições de ensino superior não estão adaptadas para a realidade das escolas públicas do país.
O ensino da matemática contribui para as transformações sociais. O processo de construção do conhecimento deverá preparar os professores para torná-los cidadãos com responsabilidade coletiva, através da aplicação adequada dos princípios adquiridos na faculdade no relacionamento social e comunitário.

O ensino da matemática nos dias atuais

Qual a reação dos nossos alunos quando o assunto é matemática? Essa inquietação deixa-me cada dia mais “inconformada” em relação ao seu ensino no contexto escolar, visto que a mesma faz parte da nossa vida diária. No entanto, muitos de nossos alunos se julgam incapazes de compreender tal ciência. Será pela forma que a matéria costuma ser trabalhada na escola? Será pelo mito de "ser difícil" e de que quem a compreenda deva ser considerado “gênio”? Ou será que a culpa é do professor, que muitas vezes apenas reproduz exercícios repetidos? E quanto às universidades, que são agências formadoras desses profissionais, como estão trabalhando esta questão?

Vestimos no ensino da matemática a carapuça de que ela é completamente difícil e de que não é destinada à compreensão de todos. Enquanto professores, muitas vezes nos apropriamos desse SABER para determos o PODER. Caso parássemos para pensar qual a disciplina com maior índice de reprovação atual, a resposta certamente estaria na matemática, e no entanto esta ciência está presente em vários momentos de nossas vidas. Assim, fica claro que a forma como a matemática vem sendo trabalhada na escola não leva o aluno à construção, nem mesmo permite o aproveitamento dessa ciência em sua vida, conduzindo-o apenas ao fracasso, a frustrações e reprovações.

Já detectamos alguns problemas no ensino da matemática hoje, resta-nos agora tentar solucioná-los. Se partirmos da Educação Infantil, que é a porta de entrada da criança na escola, muitos desses problemas certamente se extinguirão, pois segundo Piaget é preciso “levar a criança a reinventar aquilo que é capaz, ao invés de se limitar a ouvir e repetir.”
A matemática na Educação Infantil inicia com a seriação, classificação, conservação, assimilação. Se a criança formular esses conceitos, certamente isso a auxiliará em seu aprendizado matemático. No entanto, de nada adianta trabalharmos com símbolos se elas ainda não formularam tais conceitos. Se a matéria se torna difícil para muitas crianças, certamente é porque ela está sendo imposta, sem qualquer consideração pela forma que aprendem ou pensam.
A criança deve ser estimulada à descoberta, todo e qualquer erro deverá ser corrigido pela própria criança, para que construa o conceito correto. Os erros jamais devem ser eliminados pelo professor, pois a ótica dele não é a mesma do aluno.
O relacionamento Professor x Aluno, o ambiente em sala de aula e a postura profissional do professor também são fatores importantes para a compreensão do ensino da matemática.
Se o professor é um profissional crítico, aberto, capaz de auxiliar o aluno nas suas descobertas matemáticas, automaticamente o aluno irá ousar mais. Porém, se o professor limitar-se a ditar normas, regras e símbolos, consequentemente o aluno ousará menos e as suas chances de errar serão maiores.
Acredito que nós, enquanto professores dessa ciência, precisamos nos aprofundar, precisamos rever os conteúdos trabalhados em sala de aula, analisar se eles vem ao encontro da nossa realidade escolar. Segundo RANGEL:
“Os conteúdos não são organizados nem selecionados levando-se em consideração a forma como a criança constrói o seu pensamento, isto é, a sua maneira pré-lógica de pensar a realidade. Assim, o conteúdo a ser ensinado é tomado como absoluto e o ensino se dá como um fim em si mesmo: não se respeitam nem valorizam os “erros infantis”, ou seja, as manifestações da criança em como está concebendo, naquele momento, a realidade na sua maneira de pensar. Dessa forma fazemos com que a criança não se sinta bem no ambiente escolar, dificultando cada vez mais o processo de ensino e aprendizagem".
Como trabalhar com todas essas diferenças se o profissional não se sente preparado para toda essa realidade? Ao se tratar das agências formadoras desses profissionais, precisamos começar automaticamente pelo magistério (modalidade normal), pois certamente são esses profissionais que irão trabalhar a base matemática nas séries iniciais. Muitas vezes, os que procuram o curso de magistério pensam que a matemática não será mais “exigida”, segundo Danyluk:
"A maioria desses futuros professores confessava não saber ensinar matemática e não gostar dessa ciência. Afirmavam que haviam escolhido o curso de magistério por acharem que, em tal curso, “não teriam muito de matemática”. Eles mostravam não gostar de matemática e achavam-se incapazes de entendê-la. Esses futuros professores consideravam que quem "sabia" matemática era um gênio."
A história se repete nos cursos de pedagogia e, consequentemente, os problemas com relação ao ensino da matemática agravam-se cada vez mais. Em primeiro lugar, para mudarmos essa concepção precisamos quebrar algumas barreiras, tabus que trazemos conosco em relação a matemática e conhecê-la melhor, pois ninguém gosta do que não conhece.

PORCENTAGEM


É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal


Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:





Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:





As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.


Considere o seguinte problema:


João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.



Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:


Calcular 10% de 300.


Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:


1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?





Portanto o jogador fez 6 gols de falta.


2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?


Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.





Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.


Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.


Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:




Acréscimo ou Lucro

Fator de Multiplicação


10%  -->      1,10


15%    -->    1,15


20%  -->   1,20


47%   -->   1,47


67%   -->   1,67


Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00


No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)


Veja a tabela abaixo:


Desconto

Fator de Multiplicação


10%         0,90


25%         0,75


34%         0,66


60%         0,40


90%          0,10


Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Frações


O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.


Chamamos:


de fração;


a de numerador;


b de denominador.


Se a é múltiplo de b, então é um número natural.


Veja um exemplo:


A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.


Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

Guia de estudos: confira 10 temas essenciais de matemática




Confira dez temas importantes de matemática para o vestibular10 fotos

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O UOL Educação preparou um guia de estudos focado no Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) e nos grandes vestibulares, como Fuvest, Unicamp e Unesp. Confira os temas que professores apontaram como os mais importantes da disciplina. Probabilidade: Juntamente com a análise combinatória, é a parte mais difícil da prova. "O vestibulando pode se preparar estudando os modelos mais comuns de questões, mas um pequeno surto de criatividade da banca examinadora faz com que a questão seja a mais difícil da prova", brinca Nelio, professor do CPV Wikimedia Commons


Ter domínio de conceitos como porcentagem, funções trigonométricas e probabilidade auxilia na hora de realizar uma boa prova de matemática nos principais vestibulares do país. O UOL consultou professores sobre os dez conteúdos da disciplina que mais caem nos exames.


Esse é o segundo roteiro de uma série que trará o guia de estudos de uma disciplina por dia. Confira o roteiro de química.





Para José Augusto, professor do colégio Magnum Cidade Nova, em Belo Horizonte, o perfil das questões de matemática vem mudando com o passar do tempo. No Enem, por exemplo, há muita cobrança de interpretação de gráficos, tabelas e variação de grandezas -- tendência seguida por outras provas. "É uma prova relativamente fácil, por isso as médias da disciplina estão subindo", analisa.


Confira a seguir, um compilado com dez temas importantes mencionados pelos professores dos cursinhos CPV, Nelio Kikuchi, e Oficina do Estudante, Rodolfo Pereira Borges.
Problemas que envolvem cálculo de porcentagem


Assunto bastante cobrado nos vestibulares, geralmente contextualizado em questões que envolvem o cotidiano ou em matemática financeira. O professor Rodolfo, da Oficina do Estudante, aconselha os estudantes a fazerem muitos exercícios de cálculo. "Esse tipo de conteúdo exige prática e boa interpretação", afirma.
Resolução de equações elementares (1º grau e 2º grau)


Em geral, os exercícios pedem para interpretar um problema em linguagem matemática e resolvê-lo. Para Nelio, do CPV, muitos vestibulandos "morrem na praia", pois erram a resolução da equação.


"O estudante deve interpretar o que está ocorrendo. Se ele vai chamar algo de 'x', deve saber exatamente o porquê daquela incógnita e o que ele está procurando", diz Rodolfo.
Triângulos: semelhança, teorema de Pitágoras


Nas questões que envolvem semelhança de triângulos e teorema de Pitágoras, geralmente o vestibulando tem dificuldade de visualizar onde esses devem ser utilizados. Normalmente não são questões contextualizadas, cobram conteúdo teórico mais a capacidade de aplicar os conceitos.


Para o docente da Oficina, "semelhança de triângulos e teorema de Pitágoras são dois conteúdos que o aluno vai ver em suas aulas de geometria plana do começo ao fim, e também são utilizados na geometria analítica e espacial. Grande parte das teorias têm como base esses conceitos".
Teorema do cosseno e teorema do seno


"O aluno tem que saber a fórmula e quando e como aplicá-la. É um assunto que vem caindo bastante, como aconteceu na Unesp [Universidade Estadual Paulista] no ano passado", lembra Rodolfo. "No último dia, se você não sabe nada e quer estudar algo que pode cair, eu sugiro esse tema. Muito provavelmente será abordado e o estudante ganhará um exercício."
Cálculo de áreas nas principais figuras geométricas


As questões que envolvem áreas são comuns tanto para os vestibulandos de exatas, biológicas ou humanas. "O conceito de área é de uso comum e de extrema importância, o que faz com que a sua incidência seja bastante acentuada", analisa o professor Nelio.


Fazer um esquema organizado é fundamental para a resolução desse tipo de conteúdo. "O aluno não precisa ser desenhista, mas isso ajuda na hora de encontrar os elementos para calcular a área", diz Rodolfo.


Cálculo do volume dos principais sólidos geométricos


Já as questões de geometria podem ou não aparecer contextualizadas. Para Nelio, as questões não costumam ter alto grau de dificuldade, desde que o vestibulando não tenha restrições quanto a visualização espacial, ou seja, em 3 dimensões.


As questões contextualizadas de logaritmos e exponenciais seguem o mesmo padrão, bastando que o vestibulando faça alguns modelos para poder repeti-los durante a prova. Já as questões mais teóricas cobram o domínio das propriedades dos logaritmos, calcanhar de Aquiles de muitos vestibulandos, segundo o professor Nelio, do CPV.Aplicações de logaritmos e exponenciais
Funções trigonométricas


Normalmente aparecem em questões contextualizadas que envolvem sazonalidade de oferta ou procura. "Matéria pesada e que o aluno tem dificuldade. Ele deve entender bem o círculo trigonométrico e algumas relações. Esse é um conteúdo que a teoria tem que estar na ponta da língua", analisa o professor da Oficina.
Probabilidade;


Juntamente com a análise combinatória, é a parte mais difícil da prova. "O vestibulando pode se preparar estudando os modelos mais comuns de questões, mas um pequeno surto de criatividade da banca examinadora faz com que a questão seja a mais difícil da prova", brinca Nelio.
Polinômios e equações polinomiais


Normalmente as questões de polinômios não são contextualizadas e cobram conceitos de aplicação do dispositivo de Briot-Ruffini, teorema do Resto, relações de Girard. Às vezes há envolvimento com interpretação gráfica de funções polinomiais.




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